The tax question for Praktikanten (interns) depends on whether the internship is an obligatory part of the course or not.
If the university can give a declaration that the internship is an obligatory part of the qualification, then the wage is tax and contribution free as it is an "Aufmerksamkeit" from the employer.
Should it be a voluntary placement, there is a tax and insurance liability.
BfA information
Praktikanten sind keine Arbeitnehmer im arbeitrechtlichen Sinn, weswegen die arbeitsrechtlichen Bestimmungen (Angestelltengesetz, Urlaubsgesetz, Entgeltfortzahlungsgesetz, Kollektivvertrag, etc) nicht gelten. Sofern Sie als Praktikant Entgelt erhalten, das die Geringfügigkeitsgrenze (400 Euro pro Monat) überschreitet, sind Sie voll sozialversichert. Erhalten sie Entgelt unter dieser Grenze, sind für sie vom Arbeitgeber nur Unfallversicherungsbeiträge zu entrichten. In einigen Branchen gibt es Sonderbestimmungen für Praktikanten.
Über das Praktikum ist selbstverständlich ein Zeugnis anzufertigen.
Check with the university what applies, the Year Abroad office will help. In any case, it is possible to claim some tax back (should you pay any) if the placement payment is less than the lower tax bracket (I claimed my tax back) but of course, that's an interest-free loan for the government.